不在根轨迹上，不是分离点。分离点为s=-0.85。
  （6）系统无复数零极点，因而无出射角、入射角问题。
  （7）根轨迹与虚轴的交点 本文来自www.eadianqi.com

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得

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实部方程

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虚部方程 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

解得

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图3.29是该系统的根轨迹图。

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图3.29 例17的根轨迹

例18  控制系统的开环传递函数为：

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试绘制系统的根轨迹。
解  （1）系统为四阶系统，根轨迹共有4条分支。
    （2）根轨迹的起点：0，-3，-1j1。
         根轨迹终点：-2，有3条根轨迹终止于无穷远处。
    （3）渐近线与实轴的交角和交点

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    （4）根轨迹在实轴上的部分是0到-2，-3到负无穷大。
    （5）分离点：无根轨迹分离与会合。
    （6）出射角：开环极点-1j为共轭复数极点。开环零点分布入图3.30所示。

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图3.30 开环零极点的分布 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

将图3.30各角的值代入式（3.155），

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根据根轨迹的对称性，复数开环极点-1-j的出射角为。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

图 3.31 例18的根轨迹 本文来自www.eadianqi.com

 （7）与虚轴交点，将S=j代入特征方程。特征方程为

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代入S=j并整理后得
实部方程

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虚部方程 本文来自www.eadianqi.com

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解此方程组，得

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图3.31是系统的根轨迹图。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

图3.32 控制系统的根轨迹
 
图3.33 附加零点的作用

3.9.4  根轨迹法分析系统性能
根轨迹法是一种图解方法。运用根轨迹法能够分析系统的稳定性和动态特性、稳定特性。根轨迹法在对高阶系统的分析中，可以根据闭环零极点的位置，较方便地确定参数变化对系统动态过程的影响，利用闭环主导极点的概念对系统进行近似分析计算。因此是一种很实用的工程方法。下面，我们通过一些实例说明根轨迹法在系统分析中的应用。
例19  设某控制系统的开环传递函数为 本文来自www.eadianqi.com

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分析该系统的稳定性并利用根轨迹法校正系统的稳定性。
解  按照根轨迹的绘制规则，系统的根轨迹图如图3.32所示。由图可见，系统的两支根轨迹位于s平面右半边，无论K怎样变化，系统始终是不稳定的。
若在系统中附加一个开环零点，该开环零点是位于0到-10之间的一个负实数，则系统的根轨迹就变成图3.33所示的形状。显然，无论K怎样变化，系统始终是稳定的。
图3.32和图3.33说明，在适当位置上引入附加零点，可以使控制系统的性能得到有效改善。图3.33还表明，在s平面原点有两个开环极点，系统是型系统，对单位阶跃和单位斜坡输入函数响应的稳态误差为零。系统的单位阶跃响应，是衰减振荡过程。
例20  单位反馈控制系统的传递函数为

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求使系统稳定的范围。
解：本例给出的传递函数是典型环节形式，将其改写为零极点形式：

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式中K称为开环放大系统，称为根轨迹放大系数 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

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二者相差一个比例常数，比例常数是由时间常数和零极点的数值决定的。
可以证明，二阶开环系统在其开环极点左边有一个开环零点时，其根轨迹有一部分是圆，圆心为开环零点，半径为开环零点到分离点的距离。
分离点（会合点）

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系统根轨迹如图3.34所示。
根轨迹与虚轴的交点，通过s=j代入特征方程，可求得 本文来自www.eadianqi.com

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由可计算出系统的开环放大系数 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

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所以，当开环放大系数K的范围为 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

系统是稳定的。

图3.34 系统根轨迹图