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在学术上，控制的稳定性基本就是渐进稳定性，BIBO稳定性是没有办法证明渐进稳定性时的“退而求其次”的东西，不怎么上台面的。但是工业界里的稳定性有两个看起来相似、实质上不尽相同的方面：一个当然是渐进稳定性，不光逐渐稳定下来，而且向设定值收敛；另一个则是稳定性，但不一定向设定值收敛，或者说稳定性比收敛性优先这样一个情况。后者的情况就是需要PID控制系统稳定在还算靠谱的位置就可以了，多少接近设定值就行，要紧的是不要动来动去，是不是正好在设定值反而并不是太重要。这样的例子有很多，比如反应器的压力是一个重要参数，反应器压力不稳定，进料一会儿打得进去，一会儿打不进去，原料进料比例就要乱套，催化剂进料也不稳定，反应就不稳定。但是反应器的压力到底是2MPa还是2.5MPa并没有太大的关系，只要慢慢地但又稳定地向设定值收敛就足够了。这是PID控制理论里比较少涉及的一个情况，但这也是工业上时常采用积分主导的控制的一个重要原因。 本文来自www.eadianqi.com 事情的缘由是系统的稳定性。前面提到，PID参数如果设得不好，系统可能不稳定。除了摸索，有没有办法从理论上计算出合适的PID参数呢？有的。动态过程可以用微分方程描述，其实在PID的阶段，这只是微分方程中很狭窄的一支：单变量定常系数线性常微分方程。要是还记得一点高数，一定还记得线性常微的解，除了分离变量法什么的，如果自变量时间用t表示的话，最常用的求解还是把eλt代入微分方程，然后解λ的代数方程(正式称呼是特征方程)，解出来的就是特征根。这可以是实数，也可以是复数。是复数的话，微分方程的解就要用三角函数展开了(怎么样，当年噩梦的感觉找回来一点没有)。实数根整个都是实部。复数根可以分解为实部和虚部，只要所有特征根的实部为负，那微分方程就是稳定的，因为负的指数项最终随时间向零收敛。虚部到底有多大就无所谓了，对稳定性没有影响，但对振荡频率有影响。但是，这么求解分析起来还是不容易，还是超不出“具体情况具体分析”，难以得出一般的结论。 如今法国排不进第一世界了，再自豪的法国人都不敢自称超级大国，但当年法国人是很牛的，除了凡尔赛宫和法国大餐外，还有很多厉害的数学家。其中一个叫拉普拉斯的家伙，捣鼓出一个拉普拉斯变换，把常微分方程变成s的多项式。拉普拉斯变换是数学变换的一种，而数学变换是数学世界里一个十分精妙的游戏。还记得尼古拉斯·凯奇主演的电影《国家财富》吗，淘宝人发现了一副奇妙的彩色偏振镜片，用不同组合，可以在《独立宣言》原稿背面看出不同的寻宝线索。这当然是骗票房的东西，但数学变换好比这彩色偏振镜片，从一个看似一堆混沌的东西里换一个角度去看，再换一个角度去看，可以看出很多奥妙来，尤其是结构性的特征。用拉普拉斯变换处理常微分方程也是这个意思，可以从看似无从入手的常微分方程里，提出与稳定性相关的特征信息来。对描述动态过程的微分方程施加拉普拉斯变换后，微分方程就变成了传递函数，这是经典控制理论的基础。这里面的数学细节说起来比较啰唆，还是留给严谨的教科书吧。 |