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可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。典型的一阶系统微分方程式为 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
系统的传递函数为 本文来自www.eadianqi.com
式中T为系统的时间常数，K为系统的放大系数，y(t)为系统的输出变量，x(t)为系统的输入变量。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
将式（3.9）展开为部分分式 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
对式（3.10）两边进行拉普拉斯变换，得到 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
式（3.10）即一阶系统的单位阶跃响应。图3.4给出了响应y(t)的变化曲线： 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
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曲线斜率随时间增加不断下降。当t
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y(t)的瞬态响应曲线从t=0到 本文来自www.eadianqi.com
理论上来看，只有在 本文来自www.eadianqi.com
若取5%的误差范围，则 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
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一阶系统的时间常数是决定系统动态特性的参数。T的大小表明了一阶系统惯性的大小。T越大，
3.2.2 一阶系统的单位斜坡响应 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
展开成部分分式后得到 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
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求（3.14）式的拉普拉斯变换，得到 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
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图3.5给出了一阶系统的单位斜坡响应曲线。从图上可以看出，即使在
3.2.3 一阶系统的单位脉冲响应
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经拉普拉斯变换后，由式（3.16）可得 本文来自www.eadianqi.com
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图3.6给出了一阶系统单位脉冲响应曲线。 本文来自www.eadianqi.com
3.2.4 控制系统在任意输入函数下的响应 本文来自www.eadianqi.com
图3.7给出了一个任意形式的输入函数x(t)。我们可以用n个脉冲函数序列对x(t)进行近似表示。设第i个脉冲函数的幅度为 本文来自www.eadianqi.com
式中
因为线性系统满足叠加定理，系统的脉冲响应为 本文来自www.eadianqi.com
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在3.20式中，若
式（3.21）称为函数x(t)和g(t)的卷积分，记为 本文来自www.eadianqi.com
自动控制网www.eadianqi.com版权所有 图3.8给出了任意输入下系统的响应曲线。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
仔细观察典型的输入函数，我们会发现，对抛物线函数求导 本文来自www.eadianqi.com
令a=v,则抛物线函数求导后为斜坡函数。同样，对斜坡函数求导 本文来自www.eadianqi.com
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令v= 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
对式（3.25）积分 本文来自www.eadianqi.com
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式（3.26）则是一阶系统的阶跃响应。 本文来自www.eadianqi.com |
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(3.7) 
(3.8) 
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(3.9) 
(3.10) 
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(3.12) 
时，斜率为零，动态过程结束。这时的响应记为
=K，即单位阶跃信号经过了一阶系统后被放大了K倍。过t=0点做响应曲线的切线，与
表示的直线交于P点。P点所对应的时间t=T，而此时响应值y(T)=0.632K。工程上常用这个特征来判断实验曲线是不是一阶系统的响应曲线。 本文来自www.eadianqi.com 
逐渐变缓。y(t)变化的几个典型值见表3.1。从表3.1可以看出，一阶系统瞬态响应的主要部分是在动态过程初始阶段内完成的。 
时，一阶系统的单位阶跃响应动态过程才能结束。在实际工程中，当输出响应进入到一定的误差范围后，就可以认为动态过程已经结束。我们用调节时间
来描述动态过程的长短。
就是一个系统的动态性能指标。工业上常取的误差范围为2%或5%，若取2%的误差范围，则 
也越大，说明系统响应变化得慢。T越小，即系统惯性小，
也越小，输出响应变化得就快。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有 
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(3.14) 
(3.15) 
，达到稳定状态，输出与输入之间仍有差值。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有 
拉普拉斯变换等于1，所以一阶系统单位脉冲响应在形式上等于一阶系统的传递函数 
(3.16) 
(3.17) 
，脉冲宽度为
，如图3.7所示。当脉冲宽度比系统时间常数小得多时，可以认为每一个脉冲函数就是一个理想脉冲。输入函数x(t）就是这n个理想脉冲函数的叠加。即 
(3.18) 
表示每个理想脉冲的强度，即每个理想脉冲包含的面积，
则表明了该理想脉冲发生的时刻（或时间序列）。
(3.19) 
(3.20) 
,则系统对任意输入函数x(t)的响应就可以精确的得到 本文来自www.eadianqi.com 
(3.21) 本文来自www.eadianqi.com 
(3.22) 本文来自www.eadianqi.com 
(3.23) 自动控制网www.eadianqi.com版权所有 
(3.24) 
,斜坡函数的一阶导数就是阶跃函数。而单位阶跃函数的一阶导数就是单位脉冲函数。
(3.25) 本文来自www.eadianqi.com 
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(3.26)