(1)

比例环节的传递函数为 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

         (2)

式中K为放大系数或增益。

解  从电子线路的知识我们知道这是一个比例环节，其输入电压与输出电压的关系是 本文来自www.eadianqi.com

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按传递函数的定义，可以得到

           (4)

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式中，可见这是一个比例环节。如果我们给比例环节输入一个阶跃信号，他的输出同样也是一个阶跃信号。阶跃信号是这样一种函数

         (5)     

式中为常量。当时，称阶跃信号为单位阶跃信号。阶跃输入下比例环节的输出如图2所示。比例环节将原信号放大了K倍。

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图1 比例器 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

图2 比例环节的阶跃响应
（a）阶跃输入；（b）阶跃输出

2、惯性环节
惯性环节的输入变量X(t)与输出变量Y(t)之间的关系用下面的一阶微分方程描述 本文来自www.eadianqi.com

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惯性环节的传递函数为

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式中，T称为惯性环节的时间常数，K称为惯性环节的放大系数。
   惯性环节是具有代表性的一类环节。许多实际的被控对象或控制元件，都可以表示成或近似表示成惯性环节。如我们前面举过的液位系统、热力系统、热电偶等例子，它们的传递函数都具有（7）式的形式。都属惯性环节。
当惯性环节的输入为单位阶跃函数是，其输出y(t)如图3所示。

图3 惯性环节的单位阶跃响应
(a)输入函数；(b)惯性环节的输出 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

从图3中可以看出，惯性环节的输出一开始并不与输入同步按比例变化，直到过渡过程结束,y(t)才能与x(t)保持比例。这就是惯性地反映。惯性环节的时间常数就是惯性大小的量度。凡是具有惯性环节特性的实际系统，都具有一个存储元件或称容量元件，进行物质或能量的存储。如电容、热容等。由于系统的阻力，流入或流出存储元件的物质或能量不可能为无穷大，存储量的变化必须经过一段时间才能完成，这就是惯性存在的原因。
3、微分环节
理想的微分环节，输入变量x(t)与输出变量y(t)只见满足下面的关系

                          (8）

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理想微分环节的传递函数为 本文来自www.eadianqi.com

                 (9)

式中为微分时间常数。
微分环节反映了输入的微分，既反映了输入x(t)的变化趋势。它具有“超前”感知输入变量变化的作用，所以常用来改善控制系统的特性。
例2  图4式是由运算放大器构成的微分电路原理图，我们现在来推导它的传递函数。
解 本节例1中的比例放大器，如把输入电阻和反馈电阻用复阻抗代替，可以得到该类型运算放大电路的传递函数 本文来自www.eadianqi.com

                    (10)

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式中为反馈电路复阻抗，为输入电路复阻抗。将各元件复阻抗代入（10）式 本文来自www.eadianqi.com

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令，则有 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

                 (11)

这是一个微分环节，所以图4所示的电路称为微分器。
由于电路元器件都具有一定的惯性，实际的微分环节是带有惯性环节的微分环节，其传递函数为 本文来自www.eadianqi.com

                    (12)

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式中、为时间常数。

图 4 微分器

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4、积分环节
积分环节的输出变量y(t)是输入变量x(t)的积分，即

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积分环节的传递函数为

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式中K为放大系数。
例3  图5是一个气体贮罐。我们现在来分析一下流入贮罐的气体流量与贮罐内气体压力的关系。
解  设气体流量为Q，贮罐内气体压力为P，气罐容积为V,R为气体常数，T为气体的绝对温度，则有 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

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其传递函数为 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

                    (2.39) 本文来自www.eadianqi.com

式中。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

图5 气体贮罐 本文来自www.eadianqi.com

5、振荡环节
振荡环节的输出变量y(t)与输入变量x(t)的关系由下列二阶微分方程描述。 本文来自www.eadianqi.com

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按传递函数的定义可以求出式16所表示的系统的传递函数为： 本文来自www.eadianqi.com

                   （17） 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

上两式中，称为振荡环节的无阻尼自然振荡频率，称为阻尼系数或阻尼比。式（16）是振荡环节的标准形式，许多用二阶微分方程描述的系统，都可以化为这种标准形式。
本章中2.1节中的例1是机械运动系统，例2是直流电动机。
例4  RLC电路的传递函数化为标准形式。
解  已知

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上式可以写为

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式中,，K为放大系数。
振荡环节在阻尼比的值处于区间时，对单位阶跃输入函数的输出曲线如图6所示。这是一条振幅衰减的振荡过程曲线。
振荡环节和惯性环节一样，是一种具有代表性的环节。很多被控对象或控制装置都具有这种环节所表示的特性。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

图6 振荡环节的单位阶跃响应 本文来自www.eadianqi.com

6、 延时环节（滞后环节）
延时环节的输出变量y(t）与输入变量x(t)之间的关系为

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            (19)

延时环节的传递函数为

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                         (20) 本文来自www.eadianqi.com

式中为延迟时间。
图7表示了延时环节输入与输出的关系： 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

图7 延时环节的输入与输出

信号通过延时环节，不改变其性质，仅仅在发生时间上延迟了时间。

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在热工过程、化工过程和能源动力设备中，工质、燃料、物料从传输管道进口到出口之间，就可以用延时环节表示。
延时环节的传递函数是关于s的无理函数，在分析计算中非常不便。所以常用有理函数对其进行近似。一种近似方法是将其表示为

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式中n1,n越大，精度越高，但计算也越复杂，一般取n>4即可得到较满意的结果。另一种方法是把指数函数展开成泰勒级数 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

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略去高次项后可得到 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

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               (23) 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

这种方法在输入变量变化较缓时比较适用，如果输入中含有变化迅速的成分（如阶跃函数），精度就比较差。
以上我们介绍了6种典型环节。控制系统的大多数环节，都可以用这6种典型环节表示。实际上的控制系统，就是典型环节按一定的方法组合而成的。我们将在下一节讨论环节的组合方法。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有