拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法,其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后,变成复变量S的乘积,将时间表示的微分方程,变成以S表示的代数方程。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有 一、拉氏变换与拉氏及变换的定义 本文来自www.eadianqi.com
1、拉氏变换:设有时间函数 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
称L—拉氏变换符号;s-复变量; F(s)—为f(t)的拉氏变换函数,称为象函数。 本文来自www.eadianqi.com f(t)—原函数 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
拉氏变换存在,f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件): 本文来自www.eadianqi.com 1)在任何一有限区间内,f(t)分断连续,只有有限个间断点。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
2)当 2、拉氏反变换:将象函数F(s)变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。 本文来自www.eadianqi.com
关于拉氏及变换的计算方法,常用的有:①查拉氏变换表;②部分分式展开法。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有 二、典型时间函数的拉氏变换 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
在实际中,对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号,这些信号可用一些典型时间函数来表示,本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有 1.单位阶跃函数 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
自动控制网www.eadianqi.com版权所有 2.单位脉冲函数 本文来自www.eadianqi.com
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本文来自www.eadianqi.com 3.单位斜坡函数 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
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4.指数函数
5.正弦函数sinwt 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
由欧拉公式: 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
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所以,
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6.余弦函数coswt 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
其它的可见表2-1:拉氏变换对照表 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
三、拉氏变换的性质 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
1、线性性质 本文来自www.eadianqi.com 若有常数k1,k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s), 本文来自www.eadianqi.com
则有: 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
2、位移定理 (1)实数域的位移定理 本文来自www.eadianqi.com 若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a 本文来自www.eadianqi.com
有
证明:
令t-a=τ,则有上式=
例:
自动控制网www.eadianqi.com版权所有 (2)复数域的位移定理 本文来自www.eadianqi.com
若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
证: 本文来自www.eadianqi.com
例:求 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
3、微分定理 本文来自www.eadianqi.com
设f(t)的拉氏变换为F(s), 本文来自www.eadianqi.com
则 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
其中f(0+)由正向使
同理可推广到n阶: 本文来自www.eadianqi.com
当初始条件为0时,即 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
则有 4、积分定理 自动控制网www.eadianqi.com版权所有 设f(t)的拉氏变换为F(s),则 本文来自www.eadianqi.com
证明: 本文来自www.eadianqi.com 同理可得n阶积分的拉氏变换: 本文来自www.eadianqi.com
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当初始条件为0时,f(t)的各重积分在
5、初值定理 本文来自www.eadianqi.com
设f(t)的拉氏变换为F(s),则函数f(t)的初值定理表示为: 本文来自www.eadianqi.com
证明:由微分定理知: 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
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对等式两边取极限:
则有 本文来自www.eadianqi.com
例:已知
由初值定理知: 6、终值定理: 本文来自www.eadianqi.com 若f(t)的拉氏变换为F(s),则终值定理表示为: 本文来自www.eadianqi.com
证明:由微分定理知: 本文来自www.eadianqi.com
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令 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
自动控制网www.eadianqi.com版权所有 这个定理在稳态误差中常用。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
例:已知: 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
本文来自www.eadianqi.com 7、卷积定理 自动控制网www.eadianqi.com版权所有 设f(t)的拉氏变换为F(s),g(t)的拉氏变换为G(s), 本文来自www.eadianqi.com
则有 自动控制网www.eadianqi.com版权所有
式中, 本文来自www.eadianqi.com
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