相平面法_自动控制网

相平面法由庞加莱1885年首先提出。通过图解法将一阶和二阶系统的运动过程转化为位置和速度平面上的相轨迹，比较直观、准确地反映系统地稳定性、平衡状态和稳态精度以及初始条件及参数对系统运动的影响。相轨迹的绘制步骤简单、计算量小，特别适用于分析常见非线性特性和一阶、二阶线形环节组合而成的非线性系统。
1、相平面的基本概念

根据微分方程解的存在与唯一性定理，对于任一给定的初始条件，相平面上有一条相轨迹与之对应。多个初始条件下的运动对应多条相轨迹，形成相轨迹簇，而由一簇相轨迹所组成的图形称为相平面图。

整理后得

该系统自由运动的相轨迹为以坐标原点为圆心、

为半径的圆，见下图。

    2、相轨迹绘制的等倾线法本文来自www.eadianqi.com
    等倾线法是求取相轨迹的一种作图方法，不需求解微分方程。对于求解困难的非线性微分方程，图解方法显得尤为实用。
    基本思想：是先确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨迹的切线方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相轨迹。

取相轨迹切线的斜率为某一常数，得等倾线方程

由该方程可在相平面上作一条曲线，称为等倾线。当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其切线的斜率都相等，均为a。取a为若干不同的常数，即可在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率为a的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切线方向场。
在下张图中，已绘制某系统的等倾线和切线方向场，给

定初始点，则相轨迹的绘制过程如下：本文来自www.eadianqi.com

由初始点出发，按照该点所处等倾线的短直线方向作一条小线段，并与相邻一条等倾线相交；由该交点起，并按该交点所在等倾线的短直线方向作一条小线段，再与其相邻的一条等倾线相交；循此步骤依次进行，就可以获得一条从初始点出了，由各小线段组成的折线，最后对该折线作光滑处理，即得到所求系统的相轨迹。
使用等倾线法绘制相轨迹应注意以下几点：

4）一般地，等倾线分布越密，则所作的相轨迹越准确。
但随所取等倾线的增加，绘图工作量增加，同时也使作图产生的积累误差增大。为提高作图精度，可采用平均斜率法，即取相邻两条等倾线所对应的斜率的平均值为两条等倾线间直线的斜率。

    3、线性系统的相轨迹
    线性系统是非线性系统的特例，对于许多非线性一阶和二阶系统（系统中所含非线性环节可用分段折线表示），常可以分成多个区间进行研究，而在各个区间内，非线性系统的运动特性可用线性微分方程描述。
    （1）线性一阶系统的相轨迹
    描述线性一阶系统自由运动的微分方程为

相轨迹方程为

(2)线性二阶系统的轨迹
描述线性二阶系统自由运动的微分方程为

当B>0时，微分方程又可以表示为

线性二阶系统的特征根

相轨迹微分方程为

该式表明，特殊的等倾线的斜率等于位于该等倾线上相轨迹任一点的切线斜率，即当相轨迹运动至特殊的等倾线上时，将沿着等倾线收敛或发散，而不可能脱离该等倾线。

下面就线性二阶微分方程参数b<0,b=0和b>0的七种不同情况加以具体讨论，其相轨迹曲线采用等倾线法或解析法绘制而得。
1）b>0。系统特征根

s1,s2为两个符号相反的互异实根，系统相平面图见下张图。

由图可见，图中两条特殊的等倾线是相轨迹，也是其它相轨迹的渐近线，此外作为相平面的分隔线，还将相平面划分为四个具有不同运动状态的区域。当初始条件位于

对应的相轨迹，系统的运动将趋于原点，但只要受到极其微小的扰动，系统的运动将偏离该相轨迹，并最终沿着

对应的相轨迹的方向发散至无穷。因此b<0时，线性二阶系统的运动是不稳定的。自动控制网www.eadianqi.com版权所有
2）b＝0。系统特征根为s1=0,s2=-a，相轨迹方程为

系统的零输入响应为衰减振荡形式。取ζ=0.5，ωn=1，运用等倾线法绘制系统的相轨迹如右图所示。相轨迹为向心螺旋线，最终趋于原点。

②ζ>1。系统特征根为为两个互异负实根：系统的零输入响应为非振荡衰减形式，存在两条特殊的等倾线，其斜率分别为k1=s1<0,k2=s2<k1系统相平面图见右图。

关于相轨迹的运动形式说明如下：

通过分析可知，相轨迹沿

的运动是不稳定的，稍有扰动，则偏离该相轨迹，最终沿等倾线

的方向收敛至原点。

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根据时域分析知，ζ>1的线性二阶系统的自由运动为

C10,C20由初始条件决定。当取初始条件使C10=0或C20=0，则相轨迹为

或

；而在其它情况下，由于特征根S2远离虚轴，故第二项很快衰减，系统运动过程特别是过渡过程的后期主要取决于第一项。这一结果与相平面分析的结果一致。
③ζ=1。系统特征根为两个相等的负实根。
取ωn=1，其相平面图见下图。与ζ>1相比，相轨迹的渐近线即特殊等倾线蜕化为一条，不同初始条件的相轨迹最终将沿着这条特殊的等倾线趋于原点。

④ζ=0。系统特征根为一对纯虚根S1,2=+/-jωn。

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系统的自由运动为等幅正弦振荡。给定初始点

，仿照例8－1，采用直接积分方法可得系统的相轨迹方程

显然，上式为相平面的椭圆方程。系统的相平面图为围绕坐标原点的一簇椭圆，见右图椭圆的横轴和纵轴由初始条件给出。

⑤-1<ζ<0 。系统特征根为一对具有正实部的共轭复根，系统自由运动呈发散振荡形式。取ζ=-0.5, ωn=1时，系统相轨迹如下图所示，为离心螺旋线，最终发散至无穷。

⑥ζ≤-1。ζ<-1时系统特征根为两个正实根。

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系统自由运动呈非振荡发散，系统相平面图见下左图。存在两条特殊的等倾线。当初始点落在这两条直线上，则相轨迹沿该直线趋于无穷；当初始点位于其余位置时，相轨迹发散至无穷远处。

当ζ=-1时，系统特征根两个相同的正实根，存在一条特殊的等倾线。系统相轨迹发散，相平面图如上右图所示。

    4、奇点和奇线
    （1）奇点
    定义：以微分方程表示的二阶系统，其相轨迹上每一点切线的斜率为，若在某点处和同时为零，即有的不定形式，则称该点为相平面的奇点。

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相轨迹在奇点处的切线斜率不定，表明系统在奇点处可以按任意方向趋近或离开奇点，因此在奇点处，多条相轨迹相交；
由奇点定义知，奇点一定位于相平面的横轴下。在奇点处，

，

，系统运动的速度和加速度同时为零。对于二阶系统来说，系统不再发生运动，处于平衡状态。故相平面的奇点亦称为平衡点。
奇点(0,0)的类型：
    1）焦点。当特征根为一对具有负实部的共轭复根时，奇点为稳定焦点；当特征根为一对具有正实部的共轭复根时，奇点为不稳定焦点。
    2）节点。当特征根为两个负实根时，奇点为稳定节点；当特征根为两个正实根时，奇点为不稳定节点。
    3）鞍点。当特征根为一正一负实根时，奇点为鞍点。
    此外，若线性一阶系统的特征根为负实根（奇点为原点）或线性二阶系统的特征根一个为零根，另一个为负实根时（奇点为横轴），相轨迹线性收敛；若线性一阶系统的特征根为负实根时或线性二阶系统一个根为零根，另一个根为正实根时，则相轨迹线性发散。

    对于非线性系统的各个平衡点，若描述非线性过程的非线性函数解析时，可以通过平衡点处的线性化方程，基于线性系统特征根的分布，确定奇点的类型，进而确定平衡点附近相轨迹的运动形式。当非线性方程在某个区域可以表示为线性微分方程时，则奇点类型决定该区域系统运动的形式。若对应的奇点位于本区域内，则称为实奇点；若对应的奇点位于其它区域，则称为虚奇点。
    （2）奇线
    当非线性系统存在多个奇点时，奇点类型只决定奇点附近相轨迹的运动形式，而整个系统的相轨迹，特别是离奇点较远的部分，还取决于多个奇点的共同作用，有的会产生特殊的相轨迹，将相平面划分为具有不同运动特点的多个区域。这种特殊的相轨迹称为奇线。最常见的奇线是极限环。极限环把相平面的某个区域划分为内部平面和外部平面两部分。
    极限环是非线性系统中的特有现象，它只发生在非守恒系统中，产生的原因是由于系统中非线性的作用，使得系统能从非周期性的能源中获取能量，从而维持周期运动形式。
    根据极限环邻近相轨迹的运动特点，可将极限环分为三种类型：
    1）稳定的极限环。如果起始于极限环邻近范围的内部或外部的相轨迹最终均卷向极限环，则该极限环称为稳定的极限环，其内部及外部均为该极限环的稳定区域。稳定的极限环对状态较小扰动具有稳定性。系统沿极限环的运动表现为自激振荡。

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    2）不稳定的极限环。如果起始于极限环邻近范围的内部或外部的相轨迹最终均卷离极限环，则该极限环称为不稳定极限环。不稳定的极限环所表示的周期运动是不稳定的。其邻近范围其内部及外部均为该极限环的不稳定区域。
    3）半稳定的极限环。如果起始于极限环邻近范围内的内部的相轨迹均卷向极限环，外部的相轨迹均卷离极限环，或者内部的相轨迹均卷离极限环，外部的相轨迹均卷向极限环，则这种极限环称为半稳定极限环。对于半稳定极限环，相轨迹均卷向极限环的内部或外部邻域为该极限环的稳定区域，相轨迹均卷离极限环的外部或内部邻域为该极限环的不稳定区域。
    应当指出，只有稳定的极限环所对应的周期运动在实际运动过程中才可以观察得到。
例：已知非线性系统的微分方程为自动控制网www.eadianqi.com版权所有

试求系统的奇点，并绘制系统的相平面图。
解系统相轨迹微分方程为

令，则求得系统的两个奇点
为确定奇点类型，需计算各奇点处的一个阶偏导数及增量线性化方程。
奇点(0,0)处

特征根为s1=1.19,s2=-1.69，故奇点(-2,0)为鞍点。
根据奇点的位置和奇点类型，结合线性系统奇点类型和系统运动形式的对应关系，绘制本系统在各奇点附近的相轨迹，再使用等倾线法，绘制其它区域的相轨迹，获得系统的相平面图，见下张图。图中相交于鞍点的两条相轨迹为奇线，将相平面划分为两个区域，相平面图中阴影内区域为系统的稳定区域，阴影线外区域为系统的不稳定区域。凡初始条件位于阴影线内区域时，系统的运动均收敛至原点；凡初始条件位于阴影线外区域时，系统的运动发散至无穷大。该例说明，非线性系统的运动及其稳定与初始条件有关。

至

的时间

因而时间的计算归结为相轨迹上相邻两点时间增量的计算。一般有以下三种方法：

则

将两点间的相轨迹取倒数，计算阴影区面积，即可得△t。

（3）圆弧法
这种方法的基本思想是在横轴上确定圆心和半径，用对应圆上的一段圆弧近表示相轨迹上的两点

之间的曲线，再计算系统沿诸圆弧运动所需的时间。

    6、非线性系统的相平面分析
    常见非线性特怀多数可用分段直线来表示，或者本身就是分段线性的。对于含有这些非线性特性的一大类非线性系统，其折线的各转折点，构成了相平面区域的分界线，称为开关线。
    （1）具有死区特性的非线性控制系统
    设系统结构如下所示，系统初始状态为零，输入r(t)=Rgl(t)。
    可列写系统的微分方程如下：

不便于分析，取

由零初始条件

和

得

。